perm filename V2FRNT.XGP[TEX,DEK] blob sn#524692 filedate 1980-07-25 generic text, type T, neo UTF8
/NOWRAPAROUND/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=000000061*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓l␈↓ ↓H␈∧↓l↓H↓(␈↓ ¬␈∧↓l¬↓(
␈β↓m␈↓ ↓H␈∧↓m↓H(↓␈↓ ,␈∧↓m,(↓
␈β	λ␈↓ ¬T␈ε=D␈ααO␈ααN␈ααA␈ααL␈ααD␈α∪E.␈α∪K␈ααN␈ααUT␈ααH␈ε/␈α'Stanford␈αUniv␈α␈ersit␈α␈y
␈β⊂Z␈↓ ∧
␈ε
W
␈β⊃~␈↓ ∧q␈ε∧ADD␈α␈ISON-␈α{WESL␈α␈EY␈α∞PU␈α↓BLI␈α␈SH␈α↓IN␈α␈G␈α∞COMP␈α⎇A␈α↓N␈α␈Y
␈β∪(

␈β↓l␈↓ ↓H␈∧↓l↓H↓(␈↓ ¬␈∧↓l¬↓(
␈β↓m␈↓ ↓H␈∧↓m↓H(↓␈↓ ,␈∧↓m,(↓
␈βαC␈↓ ↓H␈εαV␈α|olum␈α↓e␈α_2␈α→/␈ε<␈α_Seminumer␈α␈ical␈α_Algorit␈α␈hms
␈βπx␈↓ ↓H␈εβT␈α␈HE␈α*ART␈α)OF
␈βλm␈↓ ↓H␈εβCOMPUTER␈α"PROGRA␈α␈M␈α↓MING
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"Reading,␈αMassach␈α␈usetts
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"Menlo␈α	Park,␈α
California␈ε6␈α∪↓␈ε"␈α∩London␈ε6␈α∪↓␈ε"␈α∪Amsterdam␈ε6␈α∩↓␈ε"␈α∪Don␈α	Mills,␈α
On␈α␈tario␈ε6␈α∪↓␈ε"␈α∩Sydney
␈β∪(

␈β↓l␈↓ ↓H␈∧↓l↓H↓(␈↓ ¬␈∧↓l¬↓(
␈β↓m␈↓ ↓H␈∧↓m↓H(↓␈↓ ,␈∧↓m,(↓
␈βλ"␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈αbo␈α↓o␈α␈k␈αis␈αin␈αth␈α␈e
␈βλS␈↓ ↓H␈ε=AD␈α␈DISON↑WESLE␈α␈Y␈α∞SE␈α␈RIES␈α
IN
␈β	¬␈↓ ↓H␈ε=COM␈α␈PUTE␈α␈R␈α
SCI␈α↓E␈α␈N␈α↓CE␈α
AND␈α
INF␈α␈OR␈α␈MA␈α⎇T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞P␈α␈ROCESSING
␈β
1␈↓ ↓H␈ε#Co␈α␈nsu␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αEditor␈α␈s
␈β
c␈↓ ∧∧␈ε#an␈α␈d
␈β
f␈↓ ∧E␈ε.MICHA␈α↓EL␈α
A.␈↓ ε≥␈ε.HARRISON
␈β
h␈↓ ↓H␈ε∞RICHA␈α↓RD␈α
S␈α␈.␈↓ βλ␈ε∞V␈α⎇AR␈α␈G␈α↓A
␈β∞ ␈↓ β⊗␈ε7⎇␈ε#␈α∂19␈α␈80␈↓ ∧!␈ε#196␈α␈9
␈β∞%␈↓ ↓H␈ε∞COPYRIG␈α↓HT␈↓ ∧	␈ε∞,␈↓ ∧s␈ε∞B␈α␈Y␈α⊂ADD␈α↓IS␈α␈ON↑WE␈α↓S␈α␈LE␈α↓Y␈α∂P␈α␈U␈α↓BLIS␈α␈H␈α↓ING␈α∂COM␈α↓P␈α⎇ANY,␈α⊂INC.
␈β∞H␈↓ ∧|␈ε#19␈α␈80
␈β∞M␈↓ ↓H␈ε∞P␈α␈H␈α↓ILLIPPINES␈αC␈α↓OPYRIGH␈α↓T␈↓ ¬K␈ε∞B␈α␈Y␈α
ADD␈α↓IS␈α␈ON↑W␈α↓ES␈α␈L␈α↓EY␈αPUBLISHING␈α
COMP␈α⎇A␈α↓NY,
␈β∞t␈↓ ↓H␈ε∞INC.␈α
AL␈α↓L␈α
RIG␈α↓HTS␈α
RE␈α↓S␈α␈ER␈α|V␈α↓ED.␈α
NO␈αP␈α⎇AR␈α}T␈αOF␈α
T␈α↓HIS␈α
PUBLICA␈α}T␈α↓ION␈α
MA␈α}Y␈αBE␈α
REPR␈α␈O-
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε∞DUC␈α↓ED,␈αλSTORED␈αλIN␈απA␈αλRETRIE␈α↓V␈α|AL␈αλS␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓M,␈αλOR␈απTRA␈α↓NS␈α␈MIT␈α↓TED␈α↓,␈απIN␈αλANY␈αλF␈α␈ORM␈απOR
␈β∂C␈↓ ↓H␈ε∞B␈α␈Y␈αλANY␈αλME␈α↓ANS␈α␈,␈αλEL␈α↓ECT␈α↓R␈α␈ONIC,␈αλMEC␈α↓HANIC␈α↓AL,␈αλPHOTOC␈α↓OPYING,␈αλREC␈α↓ORDING␈α↓,␈απOR
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε∞OTHE␈α↓R␈α{W␈α↓IS␈α␈E␈α↓,␈α
W␈α↓ITHOU␈α↓T␈α
THE␈α
PRIOR␈α
WRIT␈α↓TEN␈α
PERMISS␈α␈ION␈α
OF␈α
T␈α↓HE␈α
PUBLIS␈α␈H␈α↓ER.
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈ε∞P␈α␈RINT␈α↓ED␈αIN␈αTHE␈αU␈α↓NITED␈αST␈α}A␈α}TES␈α
OF␈αA␈α↓MERIC␈α↓A.␈α∞PUBLISHED␈αSIMUL␈α}T␈α}ANEOU␈α↓S␈α␈L␈α}Y
␈β⊂:␈↓ ↓H␈ε∞IN␈α	C␈α↓ANADA.
␈β⊂h␈↓ π∃␈ε#75␈↓ πA␈ε#4␈α␈090␈α␈3
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε∞LIBRAR␈α⎇Y␈αOF␈α	C␈α↓ONGRE␈α↓S␈α␈S␈α	C␈α↓A␈α}T␈α⎇A␈α↓L␈α␈OG␈α
C␈α↓ARD␈α
NO.␈↓ π7␈ε∞-␈↓ λ∀␈ε∞.
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈ε$The␈α
quotation␈α
o␈α↓n␈α
page␈α
60␈αi␈α␈s␈αr␈α␈epri␈α␈nt␈α␈ed␈α
by␈αpe␈α␈rm␈α↓i␈α␈ssi␈α␈o␈α↓n␈α
of␈αG␈α␈rov␈α␈e␈α
Press,␈α	Inc.
␈β∪(

␈β↓l␈↓ ↓H␈∧↓l↓H↓(␈↓ ¬␈∧↓l¬↓(
␈β↓m␈↓ ↓H␈∧↓m↓H(↓␈↓ ,␈∧↓m,(↓
␈β∧C␈↓ λr␈ε<PREF␈αuA␈α}CE
␈β¬|␈↓ 	;␈ε O␈αdear␈αOphelia!
␈βε$␈↓ λ*␈ε I␈αam␈αill␈αat␈αthese␈αnumbers:
␈βεL␈↓ π⊂␈ε I␈αha␈α␈v␈α␈e␈αnot␈αart␈αto␈αreck␈α␈on␈αmy␈αgroans.
␈βπ	␈↓ π&␈ε?←␈↓ πJ␈ε?Hamlet␈α(Act␈αII,␈αSc.␈α⊂2,␈αLine␈α120)
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"T␈↓ ∧~␈ε"discussed␈α⊃in␈α⊂this␈α⊃bo␈α↓ok␈α⊂deal␈α⊃directly␈α⊂with␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers;␈α∪y␈α␈et␈α⊂I
␈βλ:␈↓ ↓b␈ε.HE␈α⊂AL␈α␈G␈α↓ORI␈α␈T␈α↓HMS
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"believ␈α␈e␈α	they␈α
are␈α	properly␈α
called␈ε/␈α	semin␈α␈umerical␈ε",␈α
because␈α
they␈α	lie␈α	on␈α
the␈α	borderline
␈β	␈↓ ↓H␈ε"bet␈α␈w␈α␈een␈α
n␈α␈umeric␈α∞and␈α
sym␈α␈bolic␈α∞calculation.␈α∃Each␈α∞algorithm␈α
n␈α↓ot␈α∞only␈α
computes
␈β	6␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊃desired␈α⊃answ␈α␈ers␈α⊃to␈α⊃a␈α∩problem,␈α∩it␈α⊃also␈α⊃is␈α∩in␈α␈tended␈α⊃to␈α⊃blend␈α⊃w␈α␈ell␈α⊃with␈α⊃the
␈β	b␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈ternal␈α∞operations␈α∂of␈α∂a␈α∂digital␈α∂computer.␈α_In␈α∂man␈α␈y␈α∂cases␈α∂a␈α∂person␈α∂will␈α∂n␈α↓ot␈α∞be
␈β

␈↓ ↓H␈ε"able␈α	to␈α
appreciate␈α
the␈α
beaut␈α␈y␈α
of␈α	such␈α
an␈α
algorithm␈α
unless␈α
he␈α	or␈α
she␈α
also␈α
has␈α	some
␈β
8␈↓ ↓H␈ε"kn␈α↓o␈α␈wledge␈α
of␈α	a␈α
computer's␈α
machine␈α
language;␈αthe␈α
e}ciency␈α
of␈α
the␈α	corresponding
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"machine␈α∞program␈α∞is␈α∞a␈α∞vital␈α∞factor␈α∞that␈α∞cann␈α↓ot␈α∞be␈α∞div␈α␈orced␈α∞from␈α∞the␈α∞algorithm
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"itself.␈α∞The␈αλproblem␈αλis␈αλto␈αλ|nd␈αλthe␈αλbest␈αλw␈α␈a␈α␈ys␈αλto␈αλmak␈α␈e␈αλcomputers␈αλdeal␈αλwith␈αλn␈α␈um␈α␈bers,
␈β:␈↓ ↓H␈ε"and␈α⊃this␈α⊃in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α⊃tactical␈α⊃as␈α⊃w␈α␈ell␈α∩as␈α⊃n␈α␈umerical␈α⊃considerations.␈α∨Therefore␈α⊃the
␈βe␈↓ ↓H␈ε"subject␈αmatter␈α
of␈αthis␈αbo␈α↓ok␈α
is␈αunmistak␈α}ably␈α
a␈αpart␈α
of␈αcomputer␈αscience,␈α
as␈αw␈α␈ell
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"as␈αof␈αn␈α␈umerical␈αmathematics.
␈β;␈↓ α␈ε"Some␈αpeople␈α
w␈α␈orking␈αin␈α
\higher␈α
lev␈α␈els"␈αof␈α
n␈α␈umerical␈αanalysis␈α
will␈αregard␈α
the
␈βf␈↓ ↓H␈ε"topics␈α
treated␈α
here␈α	as␈α
the␈α
domain␈α
of␈α
system␈α
programmers.␈α⊂Other␈α	people␈α
w␈α␈orking
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"in␈α\higher␈α
lev␈α␈els"␈αof␈α
system␈αprogramming␈α
will␈αregard␈α
the␈αtopics␈αtreated␈α
here␈αas
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"the␈αλdomain␈α	of␈α	n␈α␈umerical␈α	analysts.␈α∂But␈α	I␈α	h␈α↓ope␈α	that␈αλthere␈α	are␈α	a␈α	few␈α	people␈α	le$␈αλwh␈α↓o
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"will␈αw␈α␈an␈α␈t␈αto␈αlo␈α↓ok␈αcarefully␈αat␈αthese␈αbasic␈αmeth␈α↓ods;␈αalth␈α↓ough␈αthe␈αmeth␈α↓ods␈αreside
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"perhaps␈α∞on␈α∞a␈α∞lo␈α␈w␈α∞lev␈α␈el,␈α∂they␈α∞underlie␈α∞all␈α∞of␈α∞the␈α∞m␈α↓ore␈α∞grandiose␈α∞applications␈α∞of
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"computers␈αto␈αn␈α␈umerical␈αproblems,␈αso␈αit␈αis␈αimportan␈α␈t␈αto␈αkn␈α↓o␈α␈w␈αthem␈αw␈α␈ell.␈α⊂W␈α⎇e␈αare
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"concerned␈α
here␈α
with␈α
the␈α
in␈α␈terface␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
n␈α␈umerical␈α
mathematics␈α
and␈α
computer
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"programming,␈αand␈α
it␈αis␈αthe␈α
mating␈αof␈αboth␈α
t␈α␈ypes␈αof␈αskills␈α
that␈αmak␈α␈es␈αthe␈α
subject
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"so␈αin␈α␈teresting.
␈β∂k␈↓ α␈ε"There␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂n␈α↓oticeably␈α⊃higher␈α⊂percen␈α␈tage␈α⊂of␈α⊂mathematical␈α⊂material␈α⊂in␈α⊂this
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"bo␈α↓ok␈αthan␈α
in␈αother␈α
v␈α␈olumes␈αof␈α
this␈αseries,␈α
because␈α
of␈αthe␈α
nature␈αof␈α
the␈αsubjects
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"treated.␈α≤In␈α⊂m␈α↓ost␈α⊂cases␈α⊂the␈α⊂necessary␈α⊂mathematical␈α⊂topics␈α⊂are␈α⊂dev␈α␈eloped␈α⊂here
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"starting␈αalm␈α↓ost␈α
from␈α
scratch␈α
(or␈αfrom␈α
results␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈α
in␈αV␈α⎇olume␈α
1),␈α
but␈α
in␈αsome
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"easily␈αrecognizable␈αsections␈αa␈αkn␈α↓o␈α␈wledge␈αof␈αcalculus␈αhas␈αbeen␈αassumed.
␈β⊃H␈↓ ε2␈ε$v
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"vi
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞P␈α␈RE␈α↓F␈α|A␈α␈C␈α↓E
␈βα$␈↓ α␈ε"This␈α
v␈α␈olume␈α	comprises␈α
Chapters␈α	3␈α
and␈α
4␈α	of␈α
the␈α	complete␈α
series.␈α∂Chapter␈α
3␈α	is
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"concerned␈α
with␈α\random␈α
n␈α␈um␈α␈bers":␈αit␈α
is␈αn␈α↓ot␈α
only␈αa␈α
study␈αof␈α
v␈α}arious␈αmeth␈α↓ods␈α
for
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"generating␈α	random␈α	sequences,␈α	it␈α	also␈α	in␈α␈v␈α␈estigates␈α	statistical␈α	tests␈α	for␈α	randomness,
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"as␈α∂w␈α␈ell␈α∂as␈α∂the␈α⊂transformation␈α∂of␈α∂uniform␈α∂random␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂in␈α␈to␈α∂other␈α∂t␈α␈ypes␈α∂of
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"random␈α
quan␈α␈tities;␈α∞the␈α
latter␈α∞subject␈α
illustrates␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
random␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
are␈α
used
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"in␈α
practice.␈α⊂I␈αha␈α␈v␈α␈e␈αalso␈αincluded␈αa␈α
section␈αabout␈αthe␈αnature␈αof␈αrandomness␈α
itself.
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"Chapter␈α4␈αis␈αm␈α␈y␈αattempt␈αto␈αtell␈αthe␈αfascinating␈αstory␈αof␈αwhat␈αmankind␈αhas␈αbeen
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"able␈α∞to␈α∂learn␈α∂about␈α∂the␈α∂processes␈α∞of␈α∂arithmetic,␈α⊂a$er␈α∞cen␈α␈turies␈α∂of␈α∂progress.␈α_It
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"discusses␈αv␈α}arious␈αsystems␈αfor␈αrepresen␈α␈ting␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αand␈αh␈α↓o␈α␈w␈αto␈αcon␈α␈v␈α␈ert␈αbet␈α␈w␈α␈een
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"them;␈α
and␈α
it␈α
treats␈α
arithmetic␈α
on␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α
high-precision␈α
in␈α␈tegers,
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"rational␈α∩fractions,␈α∃polyn␈α↓omials,␈α∃and␈α∩po␈α␈w␈α␈er␈α∪series,␈α∃including␈α∪the␈α∪questions␈α∩of
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"factoring␈αand␈α|nding␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisors.
␈βε+␈↓ α␈ε"Each␈αof␈αChapters␈α3␈αand␈α4␈αcan␈αbe␈αused␈αas␈αthe␈αbasis␈αof␈αa␈αone-semester␈αcollege
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"course␈α
at␈αthe␈α
junior␈αto␈α
graduate␈αlev␈α␈el.␈α∂Alth␈α↓ough␈αcourses␈α
on␈α\Random␈α
Num␈α␈bers"
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"and␈α
on␈α\Arithmetic"␈α
are␈αn␈α↓ot␈αpresen␈α␈tly␈α
a␈αpart␈α
of␈αman␈α␈y␈α
college␈αcurricula,␈αI␈α
believ␈α␈e
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"the␈αreader␈α
will␈α
|nd␈α
that␈αthe␈α
subject␈α
matter␈α
of␈αthese␈α
chapters␈α
lends␈α
itself␈αnicely
␈βπX␈↓ ↓H␈ε"to␈αa␈α
uni|ed␈α
treatmen␈α␈t␈α
of␈α
material␈α
that␈α
has␈αreal␈α
educational␈α
v␈α}alue.␈α∪My␈α
o␈α␈wn␈αex-
␈βλβ␈↓ ↓H␈ε"perience␈α
has␈α
been␈α
that␈αthese␈α
courses␈α
are␈α
a␈αgo␈α↓od␈α
means␈α
of␈α
in␈α␈troducing␈α
elemen␈α␈tary
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"probabilit␈α␈y␈α	theory␈α
and␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
theory␈α
to␈α
college␈α
studen␈α␈ts;␈α
nearly␈α
all␈α
of␈α
the␈α	topics
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"usually␈α∞treated␈α
in␈α∞such␈α∞in␈α␈troductory␈α∞courses␈α∞arise␈α∞naturally␈α∞in␈α∞connection␈α
with
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"applications,␈α
and␈α
the␈α
presence␈αof␈α
these␈α
applications␈α
can␈α
be␈α
an␈α
importan␈α␈t␈α
m␈α↓otiv␈α}a-
␈β	0␈↓ ↓H␈ε"tion␈αthat␈αhelps␈αthe␈αstuden␈α␈t␈αto␈αlearn␈αand␈αto␈αappreciate␈αthe␈αtheory.␈α⊂F␈α⎇urtherm␈α↓ore,
␈β	[␈↓ ↓H␈ε"each␈αλchapter␈αλgiv␈α␈es␈α	a␈αλfew␈α	hin␈α␈ts␈αλof␈α	m␈α↓ore␈αλadv␈α}anced␈αλtopics␈α	that␈αλwill␈α	whet␈αλthe␈αλappetite
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"of␈αman␈α␈y␈αstuden␈α␈ts␈αfor␈αfurther␈αmathematical␈αstudy.
␈β
1␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α
the␈α
m␈α↓ost␈α
part␈α
this␈α∞bo␈α↓ok␈α
is␈α
self-con␈α␈tained,␈α
except␈α
for␈α
occasional␈α
discus-
␈β
]␈↓ ↓H␈ε"sions␈α	relating␈αλto␈α	the␈↓ ∧C␈ε"computer␈α	explained␈α	in␈α	V␈α⎇olume␈α	1.␈α∂Appendix␈α	B␈α	con␈α␈tains␈αλa
␈β
←␈↓ ∧↓␈ε5MIX
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"summary␈α	of␈α
the␈α
mathematical␈α
n␈α↓otations␈α
used,␈α
some␈α
of␈α	which␈α
are␈α
a␈α
little␈α	di{eren␈α␈t
␈β3␈↓ ↓H␈ε"from␈αth␈α↓ose␈αfound␈αin␈αtraditional␈αmathematics␈αbo␈α↓oks.
␈β←␈↓ α␈ε"In␈α∪addition␈α∀to␈α∪the␈α∪ackn␈α↓o␈α␈wledgmen␈α␈ts␈α∀made␈α∪in␈α∪the␈α∀preface␈α∪to␈α∪V␈α⎇olume␈α∪1,
␈β
␈↓ ↓H␈ε"I␈α	w␈α␈ould␈α
lik␈α␈e␈α	to␈α
express␈α
deep␈α	appreciation␈α
to␈α
Elwyn␈α	R.␈↓ λ
␈ε"Berlek␈α}amp,␈α
John␈↓ 
≤␈ε"Brillhart,
␈β5␈↓ ↓H␈ε"George␈α∩E.␈↓ α⎇␈ε"Collins,␈α∃Stephen␈α∪A.␈↓ ¬O␈ε"Co␈α↓ok,␈α∃D.␈α∪H.␈↓ π.␈ε"Lehmer,␈α∃M.␈α∪Donald␈↓ 
∧␈ε"MacLaren,
␈β`␈↓ ↓H␈ε"Mervin␈α∞E.␈↓ αu␈ε"Muller,␈α∂Kenneth␈α∞B.␈↓ ¬9␈ε"Stolarsky,␈α∞and␈α∂H.␈↓ π←␈ε"Zassenhaus,␈α∂wh␈α↓o␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞gener-
␈β
␈↓ ↓H␈ε"ously␈α∂dev␈α␈oted␈α∂considerable␈α∂time␈α∂to␈α∂reading␈α∂portions␈α∂of␈α∂the␈α∂preliminary␈α∂manu-
␈β
7␈↓ ↓H␈ε"script,␈αand␈αwh␈α↓o␈αha␈α␈v␈α␈e␈αsuggested␈αman␈α␈y␈αv␈α}aluable␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈ts.
␈β
y␈↓ ↓H␈ε/Princeton,␈αNew␈αJersey␈ε"␈↓ 
(D.␈αE.␈αK.
␈β∞$␈↓ ↓H␈ε/October␈α1968
␈β∂)␈↓ ↓H␈ε=P␈α␈r␈α↓e␈α␈f␈α↓a␈α␈ce␈α
to␈α
t␈α↓he␈α
Se␈α␈cond␈α
Edit␈α↓ion
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"My␈α
|rst␈α∞plan,␈α
when␈α∞beginning␈α
to␈α∞prepare␈α
this␈α
new␈α∞edition,␈α∞w␈α␈as␈α
to␈α∞mak␈α␈e␈α
it␈α
lik␈α␈e
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂second␈α⊂edition␈α⊂of␈α⊂V␈α⎇olume␈α⊂1:␈α∀I␈α∂w␈α␈en␈α␈t␈α⊂through␈α⊂the␈α⊂en␈α␈tire␈α⊂bo␈α↓ok␈α⊂and␈α⊂tried␈α∂to
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"impro␈α␈v␈α␈e␈α∂ev␈α␈ery␈α⊂page␈α⊂with␈α↓out␈α⊂greatly␈α∂perturbing␈α⊂the␈α⊂page␈α⊂n␈α␈um␈α␈bering.␈α≠But␈α∂the
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈ts␈α
turned␈αout␈αto␈α
be␈αso␈α
great␈αthat␈αthe␈α
en␈α␈tire␈αbo␈α↓ok␈αneeded
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"to␈αbe␈α
t␈α␈ypeset␈α
again.␈α∩As␈α
a␈αresult,␈α
I␈α
decided␈α
to␈αmak␈α␈e␈α
this␈α
bo␈α↓ok␈αthe␈α
|rst␈α
test␈αcase
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ¬␈ε"vii
␈β↓\␈↓ ε¬␈ε∞P␈α␈RE␈α↓F␈α|A␈α␈C␈α↓E␈α
TO␈α
THE␈α
SECOND␈α
E␈α↓DITION
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"for␈α
a␈α
new␈α
computer␈αt␈α␈ypesetting␈α
system␈α
I␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈α
dev␈α␈eloping.␈α⊂I␈α
h␈α↓ope␈α
that␈↓ 
←␈ε"m␈α↓ost
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"readers␈αwill␈αlik␈α␈e␈αthe␈αsligh␈α␈t␈αchanges␈αin␈αformat,␈αsince␈αm␈α␈y␈αaim␈αhas␈αbeen␈αto␈αproduce
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"a␈α
bo␈α↓ok␈α
wh␈α↓ose␈αt␈α␈ypograph␈α␈y␈α
is␈αof␈α
the␈α
highest␈αpossible␈α
qualit␈α␈y←superior␈αev␈α␈en␈α
to␈α
the
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"|ne␈α∂appearance␈α⊂of␈α∂the␈α∂previous␈α⊂editions,␈α⊂in␈α⊂spite␈α∂of␈α⊂the␈α∂fact␈α⊂that␈α∂a␈α∂computer
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"is␈α
n␈α↓o␈α␈w␈α∞in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed.␈α∃If␈α∞all␈α∞goes␈α
w␈α␈ell,␈α∂the␈α
third␈α∞edition␈α∞of␈α∞V␈α⎇olume␈α
1␈α∞and␈α∞the␈α
second
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"edition␈αof␈α
V␈α⎇olume␈α
3,␈α
and␈α
all␈αeditions␈α
of␈α
V␈α⎇olumes␈α
4␈αthrough␈α
7,␈α
will␈α
be␈αpublished
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"in␈αthe␈αpresen␈α␈t␈αst␈α␈yle.
␈β∧R␈↓ α␈ε"The␈α⊂decision␈α⊂to␈α⊃reset␈α⊂this␈α⊂en␈α␈tire␈α⊂bo␈α↓ok␈α⊂has␈α⊃freed␈α⊂me␈α⊂from␈α⊂the␈α⊂shackles␈α⊂of
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂previous␈α⊂page␈α∂n␈α␈um␈α␈bering,␈α⊂so␈α⊂I␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂been␈α∂able␈α⊂to␈α∂mak␈α␈e␈α⊂major␈α∂re|nemen␈α␈ts
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"and␈α⊂to␈α⊂insert␈α⊂a␈α⊂lot␈α⊂of␈α⊂new␈α⊂material.␈α≤I␈α⊂estimate␈α⊂that␈α∂about␈α⊂45␈α⊂percen␈α␈t␈α⊂of␈α⊂the
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"bo␈α↓ok␈αhas␈αchanged.␈α⊃I␈αdid␈α
try,␈αh␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
to␈αk␈α␈eep␈αthe␈α
exercise␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αfrom␈αbeing
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"substan␈α␈tially␈αaltered;␈αalth␈α↓ough␈αman␈α␈y␈αof␈α
the␈αold␈αexercises␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αreplaced␈αby
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"new␈α
and␈αbetter␈αones,␈αthe␈α
new␈αexercises␈αtend␈αto␈α
relate␈αto␈αthe␈α
same␈αidea␈αas␈α
before.
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂explosiv␈α␈e␈α⊂gro␈α␈wth␈α⊂of␈α⊂semin␈α␈umerical␈α⊂research␈α∂in␈α⊂recen␈α␈t␈α⊂y␈α␈ears␈α⊂has␈α⊂of␈α∂course
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"made␈α∞it␈α∂impossible␈α∞for␈α∞me␈α∂to␈α∞insert␈α∂all␈α∞of␈α∂the␈α∞beautiful␈α∂ideas␈α∞in␈α∂this␈α∞|eld␈α∞that
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∞been␈α∞disco␈α␈v␈α␈ered␈α∂since␈α∞1968;␈α⊂but␈α∞I␈α∞think␈α∂that␈α∞this␈α∞edition␈α∂does␈α∞con␈α␈tain␈α∞an
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"up-to-date␈α∞surv␈α␈ey␈α∂of␈α∂all␈α∂the␈α∞major␈α∂paradigms␈α∂and␈α∂basic␈α∞theory␈α∂of␈α∂the␈α∞subject,
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"and␈αit␈αseems␈αreasonable␈αto␈αbeliev␈α␈e␈αthat␈αv␈α␈ery␈αfew␈αof␈α
the␈αtopics␈αdiscussed␈αhere␈αwill
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈er␈αbecome␈αobsolete.
␈βλY␈↓ α␈ε"The␈αλNational␈αλScience␈α	F␈α⎇oundation␈αλand␈αλthe␈αλO}ce␈α	of␈αλNa␈α␈v␈α}al␈αλResearch␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλbeen
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"particularly␈α
generous␈αin␈α
their␈αsupport␈α
of␈αm␈α␈y␈α
research␈αas␈α
I␈α
w␈α␈ork␈αon␈α
these␈αbo␈α↓oks.␈α∂I
␈β	/␈↓ ↓H␈ε"am␈αalso␈αdeeply␈αgrateful␈αfor␈αthe␈αadvice␈αand␈αunsel|sh␈αassistance␈αof␈αman␈α␈y␈αreaders,
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"to␈α↓o␈α∞n␈α␈umerous␈α
to␈α∞men␈α␈tion.␈α⊗In␈α∞this␈α∞regard␈α∞I␈α∞w␈α␈an␈α␈t␈α∞to␈α∞ackn␈α↓o␈α␈wledge␈α∞especially␈α
the
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"help␈αof␈αsev␈α␈eral␈αpeople␈αwh␈α↓ose␈αcon␈α␈tributions␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αreally␈αmajor:␈αB.␈αI.␈↓ 
/␈ε"Aspv␈α}all,
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"R.␈αλP.␈↓ α!␈ε"Bren␈α␈t,␈α	U.␈↓ β7␈ε"Dieter,␈α
M.␈αλJ.␈↓ ¬α␈ε"Fischer,␈α	R.␈αλW.␈↓ εl␈ε"Gosper,␈α	D.␈α	C.␈↓ λF␈ε"Hoaglin,␈α	W.␈α	M.␈↓ 
:␈ε"Kahan,
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"F.␈α
M.␈↓ α'␈ε"Liang,␈αJ.␈α
F.␈↓ βg␈ε"Reiser,␈αA.␈α
G.␈↓ ¬;␈ε"W␈α⎇aterman,␈αS.␈↓ π≠␈ε"Win␈α↓ograd,␈α
and␈α
M.␈α
C.␈↓ 	o␈ε"W␈α⎇underlich.
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇urtherm␈α↓ore␈αMarion␈↓ ∧↔␈ε"Ho␈α␈w␈α␈e␈α
and␈α
other␈αpeople␈α
in␈α
the␈α
Addison↑W␈α⎇esley␈αproduction
␈β2␈↓ ↓H␈ε"departmen␈α␈t␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂been␈α∂en␈α↓orm␈α↓ously␈α∂helpful␈α∞in␈α∂un␈α␈tangling␈α∂literally␈α∂th␈α↓ousands␈α∞of
␈β↑␈↓ ↓H␈ε"hand-written␈α⊂inserts␈α⊂so␈α⊂that␈α⊂a␈α⊂v␈α␈ery␈α⊃chaotic␈α⊂man␈α␈uscript␈α⊂has␈α⊂come␈α⊂out␈α⊂lo␈α↓oking
␈β	␈↓ ↓H␈ε"reasonably␈α∞w␈α␈ell-organized.␈α∃I␈α∞suppose␈α∞some␈α∞mistak␈α␈es␈α∞still␈α
remain,␈α∂or␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α
crept
␈β4␈↓ ↓H␈ε"in,␈α
and␈α
I␈α
w␈α␈ould␈α
lik␈α␈e␈α
to␈α
|x␈αthem;␈α∞therefore␈α
I␈α
will␈α
cheerfully␈α
pa␈α␈y␈ε6␈α
␈␈␈ε"2.00␈α
rew␈α␈ard␈αto
␈β←␈↓ ↓H␈ε"the␈α|rst␈α|nder␈αof␈αeach␈αtechnical,␈αt␈α␈ypographical,␈αor␈αhistorical␈αerror.
␈β
 ␈↓ ↓H␈ε/Stanford,␈αCalifornia␈ε"␈↓ 
(D.␈αE.␈αK.
␈β
K␈↓ ↓H␈ε/July␈α1980
␈β∂?␈↓ ¬b␈ε `Defendit␈αnumerus,'␈ε?␈α[there␈αis␈αsafet␈α␈y␈αin␈αnumbers]
␈β∂g␈↓ λ∞␈ε is␈αthe␈αmaxim␈αof␈αthe␈αfo␈α↓olish;
␈β⊂∃␈↓ ε␈ε `Deperdit␈αnumerus,'␈ε?␈α[there␈αis␈αruin␈αin␈αnumbers]
␈β⊂=␈↓ 	}␈ε of␈αthe␈αwise.
␈β⊂z␈↓ λ4␈ε?←C.␈αC.␈↓ 	0␈ε?COL␈α⎇TON␈α(1820)
␈β∪(

␈β↓j␈↓ ↓H␈∧↓j↓H↓(␈↓ ¬␈∧↓j¬↓(
␈β↓k␈↓ ↓H␈∧↓k↓H(↓␈↓ ,␈∧↓k,(↓
␈β∧P␈↓ βi␈ε<NOTES␈α→ON␈α_THE␈α_EX␈α␈ERCISE␈α␈S
␈βεβ␈↓ ↓H␈ε"T␈↓ βi␈ε"in␈α
this␈α
set␈α∞of␈α
bo␈α↓oks␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈α∞designed␈α
for␈α
self-study␈α
as␈α
w␈α␈ell
␈βελ␈↓ ↓b␈ε.HE␈α
EXER␈α␈CISES
␈βε/␈↓ ↓H␈ε"as␈α
classro␈α↓om␈α
study.␈α⊂It␈α
is␈αdi}cult,␈α
if␈αn␈α↓ot␈α
impossible,␈αfor␈α
an␈α␈y␈α␈one␈α
to␈αlearn␈α
a␈α
subject
␈βεZ␈↓ ↓H␈ε"purely␈αλby␈α	reading␈α	about␈α	it,␈α	with␈α↓out␈α	applying␈αλthe␈α	information␈α	to␈α	speci|c␈αλproblems
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ε"and␈α
thereby␈αbeing␈αencouraged␈α
to␈αthink␈α
about␈αwhat␈αhas␈α
been␈αread.␈α∂F␈α⎇urtherm␈α↓ore,
␈βπ0␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αall␈αlearn␈αbest␈αthe␈αthings␈αthat␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αfor␈αourselv␈α␈es.␈α⊂Therefore␈αthe
␈βπ[␈↓ ↓H␈ε"exercises␈α
form␈α∞a␈α∞major␈α
part␈α∞of␈α
this␈α∞w␈α␈ork;␈α∂a␈α
de|nite␈α∞attempt␈α∞has␈α
been␈α∞made␈α
to
␈βλπ␈↓ ↓H␈ε"k␈α␈eep␈α
them␈α
as␈α
informativ␈α␈e␈α
as␈α
possible␈α
and␈α
to␈α
select␈α
problems␈α
that␈α
are␈α
enjo␈α␈y␈α␈able
␈βλ2␈↓ ↓H␈ε"to␈αsolv␈α␈e.
␈βλ↑␈↓ α␈ε"In␈αman␈α␈y␈αbo␈α↓oks,␈αeasy␈αexercises␈αare␈αfound␈αmixed␈αrandomly␈αam␈α↓ong␈αextremely
␈β		␈↓ ↓H␈ε"di}cult␈α∂ones.␈α~This␈α∂is␈α⊂sometimes␈α∂unfortunate␈α⊂because␈α∂readers␈α∂lik␈α␈e␈α⊂to␈α∂kn␈α↓o␈α␈w␈α∂in
␈β	4␈↓ ↓H␈ε"adv␈α}ance␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
long␈α
a␈α
problem␈α
ough␈α␈t␈α
to␈α
tak␈α␈e←otherwise␈α
they␈αma␈α␈y␈α
just␈α
skip␈α
o␈α␈v␈α␈er
␈β	←␈↓ ↓H␈ε"all␈α∂the␈α⊂problems.␈α~A␈α⊂classic␈α∂example␈α⊂of␈α∂such␈α⊂a␈α∂situation␈α⊂is␈α∂the␈α⊂bo␈α↓ok␈ε/␈α∂Dynamic
␈β

␈↓ ↓H␈ε/Programming␈ε"␈α⊃by␈α∩Richard␈α⊃Bellman;␈α∃this␈α⊃is␈α∩an␈α⊃importan␈α␈t,␈α∪pioneering␈α∩w␈α␈ork␈α⊃in
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"which␈α⊂a␈α⊂group␈α⊃of␈α⊂problems␈α⊂is␈α⊃collected␈α⊂together␈α⊃at␈α⊂the␈α⊂end␈α⊃of␈α⊂some␈α⊂chapters
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"under␈α∂the␈α∞heading␈α∂\Exercises␈α∂and␈α∂Research␈α∂Problems,"␈α⊂with␈α∂extremely␈α∞trivial
␈β␈↓ ↓H␈ε"questions␈αappearing␈αin␈αthe␈αmidst␈αof␈αdeep,␈αunsolv␈α␈ed␈αproblems.␈α⊂It␈αis␈αrum␈α↓ored␈αthat
␈β7␈↓ ↓H␈ε"someone␈αλonce␈α	ask␈α␈ed␈αλDr.␈↓ ∧C␈ε"Bellman␈α	h␈α↓o␈α␈w␈αλto␈α	tell␈α	the␈αλexercises␈α	apart␈αλfrom␈α	the␈αλresearch
␈βb␈↓ ↓H␈ε"problems,␈α
and␈α
he␈α
replied,␈α
\If␈α
y␈α␈ou␈α
can␈α
solv␈α␈e␈α
it,␈α∞it␈α
is␈α
an␈α
exercise;␈α
otherwise␈α
it's␈α
a
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"research␈αproblem."
␈β9␈↓ α␈ε"Go␈α↓od␈α⊃argumen␈α␈ts␈α∩can␈α⊃be␈α∩made␈α⊃for␈α∩including␈α⊃both␈α∩research␈α⊃problems␈α⊃and
␈βe␈↓ ↓H␈ε"v␈α␈ery␈α∂easy␈α⊂exercises␈α∂in␈α⊂a␈α⊂bo␈α↓ok␈α∂of␈α⊂this␈α∂kind;␈α∩therefore,␈α⊂to␈α⊂sa␈α␈v␈α␈e␈α∂the␈α⊂reader␈α∂from
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"the␈α
possible␈αdilemma␈αof␈α
determining␈αwhich␈αare␈α
which,␈ε/␈αrating␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε"␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
been
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈vided␈α∂to␈α∂indicate␈α∂the␈α∂lev␈α␈el␈α∂of␈α∂di}cult␈α␈y.␈α~These␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂the␈α∂follo␈α␈wing
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"general␈αsigni|cance:
␈β∞)␈↓ ↓H␈ε0Ra␈α␈ting␈α⊗In␈α}terpre␈α␈tation
␈β∞j␈↓ ↓j␈ε)00␈↓ α.␈ε#An␈α
ex␈α␈tremely␈α
ea␈α␈sy␈α
exe␈α␈rcise␈α∞t␈α␈hat␈α
ca␈α␈n␈α
be␈α
an␈α␈sw␈α␈ered␈α
imme␈α␈diate␈α␈l␈α↓y␈α
if␈α∞t␈α␈he␈α
mate␈α␈ri␈α↓a␈α␈l
␈β∂∩␈↓ α.␈ε#of␈αt␈α␈he␈α
text␈α
has␈α
bee␈α␈n␈αu␈α␈nd␈α␈erstood␈α␈;␈αsuch␈α
an␈α
ex␈α␈ercise␈α
can␈α
alm␈α↓o␈α␈st␈αa␈α␈l␈α↓w␈α␈a␈α␈y␈α␈s␈αb␈α␈e␈αw␈α␈ork␈α}ed
␈β∂:␈↓ α.␈ε#\in␈αy␈α}ou␈α␈r␈αhea␈α␈d."
␈β∂n␈↓ ↓j␈ε)10␈↓ α.␈ε#A␈α
si␈α↓m␈α␈ple␈α
pro␈α␈blem␈α
th␈α␈at␈α
mak␈α}es␈α
y␈α␈ou␈αthin␈α␈k␈α
o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α∞th␈α␈e␈α
mate␈α␈ri␈α↓a␈α␈l␈α∞ju␈α␈st␈α∞r␈α␈ead␈α␈,␈α∂b␈α␈ut␈α
it␈α
is
␈β⊂⊗␈↓ α.␈ε#by␈αno␈αmean␈α␈s␈α
d␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t.␈α∪It␈α
s␈α␈h␈α↓ou␈α␈ld␈αbe␈αpo␈α␈ssible␈α
to␈αd␈α␈o␈αthis␈α
in␈αon␈α␈e␈αmin␈α␈ut␈α␈e␈α
a␈α␈t␈α
m␈α↓o␈α␈st;
␈β⊂>␈↓ α.␈ε#pe␈α␈ncil␈αan␈α␈d␈αpa␈α␈pe␈α␈r␈αm␈α␈a␈α␈y␈αb␈α␈e␈αuse␈α␈ful␈αi␈α↓n␈α
ob␈α␈tainin␈α␈g␈αthe␈αs␈α␈olution␈α␈.
␈β⊂r␈↓ ↓j␈ε)20␈↓ α.␈ε#An␈α	a␈α}v␈α␈erag␈α␈e␈α	pro␈α␈blem␈α	th␈α␈at␈α	te␈α␈sts␈α	basic␈α	u␈α␈nd␈α␈erstan␈α␈din␈α␈g␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	text␈α	m␈α␈aterial,␈α
b␈α␈ut␈α	y␈α}ou
␈β⊃~␈↓ α.␈ε#ma␈α␈y␈α
nee␈α␈d␈αab␈α␈ou␈α␈t␈α|$ee␈α␈n␈αor␈αt␈α␈w␈α␈en␈α}t␈α␈y␈αmin␈α␈u␈α␈tes␈αto␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αit␈αco␈α␈mplete␈α␈l␈α↓y␈α␈.
␈β⊃H␈↓ ε-␈ε$ix
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"x
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞NOTES␈α	ON␈α
T␈α↓HE␈α
EXE␈α↓R␈α␈CISES
␈βα%␈↓ ↓j␈ε)30␈↓ α.␈ε#A␈αpro␈α␈blem␈αo␈α␈f␈αmode␈α␈rate␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈α␈y␈αa␈α␈nd␈α␈/or␈αco␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈xit␈α␈y;␈αthis␈αon␈α␈e␈αma␈α␈y␈α
i␈α↓n␈α}v␈α␈o␈α␈l␈α↓v␈α}e␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r
␈βαM␈↓ α.␈ε#t␈α␈w␈α␈o␈αhours␈α␈'␈αw␈α␈ork␈α
to␈αso␈α␈l␈α↓v␈α}e␈αsatisfacto␈α␈ril␈α↓y␈α␈.
␈βα}␈↓ ↓j␈ε)40␈↓ α.␈ε#Qu␈α␈i␈α↓te␈αa␈α
d␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t␈αor␈α
len␈α␈gth␈α}y␈α
p␈α␈rob␈α␈lem␈α
th␈α␈at␈αwo␈α␈uld␈αbe␈αsuita␈α␈ble␈α
for␈αa␈α
t␈α␈erm␈α
p␈α␈rojec␈α␈t
␈ββ&␈↓ α.␈ε#in␈αclassroom␈αsituatio␈α␈ns.␈α∪It␈α
is␈αexp␈α␈ecte␈α␈d␈αtha␈α␈t␈α
a␈αstu␈α␈den␈α}t␈α
will␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈ble␈αto␈αsolv␈α␈e␈αthe
␈ββN␈↓ α.␈ε#pro␈α␈blem␈αin␈α
a␈αreaso␈α␈na␈α␈ble␈αamou␈α␈n␈α␈t␈αof␈αtime,␈αbu␈α␈t␈αthe␈α
solution␈α
is␈αnot␈αtriv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓.
␈ββ␈␈↓ ↓j␈ε)50␈↓ α.␈ε#A␈α∂re␈α␈search␈α∞p␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈α∂th␈α␈at␈α∞ha␈α␈s␈α∂not␈α∞y␈α␈et␈α∞been␈α∞so␈α␈lv␈α␈ed␈α∞satisfa␈α␈ctorily,␈α⊂a␈α␈s␈α∂far␈α∞as␈α∞the
␈β∧'␈↓ α.␈ε#au␈α␈th␈α↓o␈α␈r␈α
kn␈α␈ew␈α
at␈α
th␈α␈e␈α
time␈α
of␈α
writing␈α␈,␈α∞alth␈α↓o␈α␈ug␈α␈h␈α
ma␈α␈n␈α␈y␈α
p␈α␈eop␈α␈le␈α
ha␈α}v␈α␈e␈α
tried␈α␈.␈α∃If␈α∞y␈α}ou
␈β∧O␈↓ α.␈ε#ha␈α}v␈α␈e␈αλfo␈α␈un␈α␈d␈αλa␈α␈n␈αλa␈α␈nsw␈α␈er␈αλto␈απsuc␈α␈h␈αλa␈απpro␈α␈blem,␈α	y␈α}ou␈απou␈α␈gh␈α␈t␈απto␈αλwrite␈αλit␈αλu␈α␈p␈αλfor␈απpu␈α␈blication␈α␈;
␈β∧v␈↓ α.␈ε#furth␈α␈ermore,␈αλthe␈απau␈α␈th␈α↓o␈α␈r␈αλo␈α␈f␈αλth␈α␈i␈α↓s␈απbook␈απw␈α␈o␈α␈uld␈απap␈α␈prec␈α␈i␈α↓a␈α␈te␈αλh␈α␈ea␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈απab␈α␈out␈απth␈α␈e␈αλso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion
␈β¬≡␈↓ α.␈ε#as␈αsoon␈αa␈α␈s␈αpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α(pro␈α}vided␈α
tha␈α␈t␈αi␈α↓t␈αis␈αco␈α␈rrect).
␈β¬[␈↓ α␈ε"By␈αin␈α␈terpolation␈αin␈αthis␈α\logarithmic"␈αscale,␈αthe␈αsigni|cance␈αof␈αother␈αrating
␈βεε␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈αbecomes␈αclear.␈α∩F␈α⎇or␈αexample,␈α
a␈αrating␈α
of␈ε(␈α17␈↓ λ∞␈ε"w␈α␈ould␈α
indicate␈αan␈αexercise
␈βε2␈↓ ↓H␈ε"that␈α∩is␈α∪a␈α∩bit␈α∩simpler␈α∪than␈α∩a␈α␈v␈α␈erage.␈α$Problems␈α∩with␈α∩a␈α∪rating␈α∩of␈ε(␈α∪50␈↓ 
(␈ε"that␈α∩are
␈βε]␈↓ ↓H␈ε"subsequen␈α␈tly␈α	solv␈α␈ed␈α
by␈α	some␈α	reader␈α
ma␈α␈y␈α	appear␈α
with␈α	a␈ε(␈α
45␈↓ λR␈ε"rating␈α
in␈α	later␈α	editions
␈βπλ␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αbo␈α↓ok.
␈βπ3␈↓ α␈ε"The␈α
auth␈α↓or␈α
has␈α
earnestly␈αtried␈α
to␈α
assign␈α
accurate␈α
rating␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α
but␈α
it␈αis
␈βπ↑␈↓ ↓H␈ε"di}cult␈αfor␈αthe␈αperson␈αwh␈α↓o␈αmak␈α␈es␈αup␈αa␈αproblem␈αto␈αkn␈α↓o␈α␈w␈αjust␈αh␈α↓o␈α␈w␈αformidable␈αit
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε"will␈α
be␈α
for␈α
someone␈α
else␈α
to␈α
|nd␈α
a␈α
solution;␈α∞and␈α
ev␈α␈ery␈α␈one␈α
has␈α
m␈α↓ore␈α
aptitude␈α
for
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"certain␈α
t␈α␈ypes␈α∞of␈α
problems␈α
than␈α∞for␈α
others.␈α∃It␈α
is␈α∞h␈α↓oped␈α
that␈α∞the␈α
rating␈α
n␈α␈um␈α␈bers
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈t␈αa␈α
go␈α↓od␈α
guess␈α
as␈α
to␈αthe␈α
lev␈α␈el␈α
of␈α
di}cult␈α␈y,␈α
but␈αthey␈α
sh␈α↓ould␈α
be␈α
tak␈α␈en␈αas
␈β	␈↓ ↓H␈ε"general␈αguidelines,␈αn␈α↓ot␈αas␈αabsolute␈αindicators.
␈β	6␈↓ α␈ε"This␈α	bo␈α↓ok␈α	has␈α	been␈α	written␈α	for␈α	readers␈α	with␈α	v␈α}arying␈α	degrees␈α	of␈α	mathematical
␈β	b␈↓ ↓H␈ε"training␈αλand␈αλsophistication;␈α
as␈αλa␈αλresult,␈α	some␈αλof␈αλthe␈α	exercises␈αλare␈αλin␈α␈tended␈αλonly␈αλfor
␈β

␈↓ ↓H␈ε"the␈α	use␈α	of␈α	m␈α↓ore␈α	mathematically␈α
inclined␈α	readers.␈α∂The␈α	rating␈α	is␈α
preceded␈α	by␈α	an␈ε(␈α	M
␈β
8␈↓ ↓H␈ε"if␈αthe␈αexercise␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈αmathematical␈αconcepts␈αor␈αm␈α↓otiv␈α}ation␈αto␈αa␈αgreater␈αexten␈α␈t
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"than␈α⊂necessary␈α⊂for␈α⊃someone␈α⊂wh␈α↓o␈α⊃is␈α⊂primarily␈α⊂in␈α␈terested␈α⊃only␈α⊂in␈α⊂programming
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"the␈α
algorithms␈α
themselv␈α␈es.␈α∀An␈α
exercise␈α
is␈α∞mark␈α␈ed␈α
with␈α
the␈α
letters␈α∞\␈ε(HM␈↓ 
D␈ε""␈α
if␈α
its
␈β:␈↓ ↓H␈ε"solution␈α	necessarily␈α	in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α	a␈α	kn␈α↓o␈α␈wledge␈α	of␈α	calculus␈α	or␈α	other␈α	higher␈α	mathematics
␈βe␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈α∞dev␈α␈eloped␈α∞in␈α∞this␈α∞bo␈α↓ok.␈α⊗An␈α∂\␈ε(HM␈↓ ε)␈ε""␈α∞designation␈α∞does␈ε/␈α∞n␈α↓ot␈↓ 	≡␈ε"necessarily␈α∞imply
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"di}cult␈α␈y.
␈β;␈↓ α␈ε"Some␈α
exercises␈αare␈α
preceded␈α
by␈αan␈α
arro␈α␈whead,␈α\␈ε↓x␈ε"";␈αthis␈α
designates␈α
problems
␈βf␈↓ ↓H␈ε"that␈αare␈αespecially␈α
instructiv␈α␈e␈αand␈α
that␈αare␈αespecially␈α
recommended.␈α⊃Of␈αcourse,
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓o␈αreader/studen␈α␈t␈αis␈αexpected␈αto␈αw␈α␈ork␈ε/␈αall␈ε"␈αof␈αthe␈αexercises,␈αso␈αth␈α↓ose␈αthat␈αseem␈αto
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"be␈αthe␈αm␈α↓ost␈αv␈α}aluable␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αsingled␈αout.␈α↔(This␈αis␈αn␈α↓ot␈αmean␈α␈t␈αto␈αdetract␈αfrom
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"the␈α
other␈α
exercises!)␈α≤Each␈α
reader␈α
sh␈α↓ould␈α∞at␈α
least␈α
mak␈α␈e␈α
an␈α∞attempt␈α
to␈α
solv␈α␈e␈α
all
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αproblems␈αwh␈α↓ose␈αrating␈αis␈ε(␈α10␈↓ ¬x␈ε"or␈αless;␈α
and␈αthe␈αarro␈α␈ws␈αma␈α␈y␈αhelp␈αto␈αindicate
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"which␈αof␈αthe␈αproblems␈αwith␈αa␈αhigher␈αrating␈αsh␈α↓ould␈αbe␈αgiv␈α␈en␈αpriorit␈α␈y.
␈β∞j␈↓ α␈ε"Solutions␈α
to␈αm␈α↓ost␈α
of␈αthe␈α
exercises␈α
appear␈αin␈α
the␈αansw␈α␈er␈α
section.␈α∩Please␈αuse
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"them␈α∂wisely;␈α⊃do␈α∂n␈α↓ot␈α⊂turn␈α∂to␈α⊂the␈α∂answ␈α␈er␈α∂un␈α␈til␈α⊂y␈α␈ou␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂made␈α⊂a␈α∂gen␈α␈uine␈α∂e{ort
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞solv␈α␈e␈α∞the␈α∞problem␈α∂by␈α∞y␈α␈ourself,␈α∂or␈α∞unless␈α∞y␈α␈ou␈α∂do␈α∞n␈α↓ot␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂time␈α∞to␈α∞w␈α␈ork␈α∞this
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"particular␈α⊂problem.␈ε/␈α≤A$er␈ε"␈α⊂getting␈α⊂y␈α␈our␈α⊂o␈α␈wn␈α⊂solution␈α⊂or␈α⊂giving␈α⊂the␈α⊂problem␈α⊂a
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"decen␈α␈t␈αtry,␈αy␈α␈ou␈αma␈α␈y␈α|nd␈αthe␈αansw␈α␈er␈αinstructiv␈α␈e␈αand␈αhelpful.␈α⊂The␈αsolution␈αgiv␈α␈en
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"will␈α∂o$en␈α⊂be␈α⊂quite␈α∂sh␈α↓ort,␈α⊃and␈α⊂it␈α∂will␈α⊂sk␈α␈etch␈α⊂the␈α∂details␈α⊂under␈α⊂the␈α∂assumption
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"that␈α
y␈α␈ou␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
earnestly␈αtried␈α
to␈αsolv␈α␈e␈αit␈α
by␈αy␈α␈our␈α
o␈α␈wn␈αmeans␈α
|rst.␈α⊂Sometimes␈α
the
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"solution␈α∞giv␈α␈es␈α∞less␈α∞information␈α∞than␈α∞w␈α␈as␈α∞ask␈α␈ed;␈α∂o$en␈α∞it␈α∞giv␈α␈es␈α∞m␈α↓ore.␈α⊗It␈α∞is␈α∞quite
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ∞␈ε"xi
␈β↓\␈↓ ε¬␈ε∞P␈α␈RE␈α↓F␈α|A␈α␈C␈α↓E␈α
TO␈α
THE␈α
SECOND␈α
E␈α↓DITION
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"possible␈αthat␈αy␈α␈ou␈αma␈α␈y␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈αbetter␈αansw␈α␈er␈αthan␈αthe␈αone␈αpublished␈αhere,␈αor␈αy␈α␈ou
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"ma␈α␈y␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞found␈α∞an␈α∂error␈α∞in␈α∞the␈α∞published␈α∞solution;␈α⊂in␈α∞such␈α∞a␈α∞case,␈α∂the␈α∞auth␈α↓or
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"will␈α∂be␈α⊂pleased␈α∂to␈α⊂kn␈α↓o␈α␈w␈α∂the␈α⊂details.␈α~Later␈α⊂editions␈α∂of␈α∂this␈α⊂bo␈α↓ok␈α∂will␈α⊂giv␈α␈e␈α∂the
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"impro␈α␈v␈α␈ed␈αsolutions␈αtogether␈αwith␈αthe␈αsolv␈α␈er's␈αname␈αwhere␈αappropriate.
␈ββQ␈↓ α␈ε"When␈α∂w␈α␈orking␈α∞an␈α∂exercise␈α∞y␈α␈ou␈α∂ma␈α␈y␈α∂generally␈α∞use␈α∂the␈α∞answ␈α␈ers␈α∂to␈α∞previous
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"exercises,␈α
unless␈αspeci|cally␈α
forbidden␈α
from␈αdoing␈α
so.␈α∩The␈α
rating␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"been␈αassigned␈αwith␈α
this␈αin␈α
mind;␈αth␈α␈us␈α
it␈αis␈α
possible␈αfor␈αexercise␈ε(␈α
n␈ε"␈αλ+␈αλ1␈α
to␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"lo␈α␈w␈α␈er␈αrating␈α
than␈αexercise␈ε(␈α
n␈ε",␈αev␈α␈en␈α
th␈α↓ough␈α
it␈αincludes␈α
the␈αresult␈α
of␈α
exercise␈ε(␈αn␈ε"␈αas
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"a␈αspecial␈αcase.
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈∧¬⎇↓Hα	e
␈β¬␈␈↓ ↓H␈∧¬␈↓Hα$α␈↓ +␈∧¬␈+α$α
␈βε→␈↓ ↓|␈ε#Su␈α␈mma␈α␈ry␈αof␈αco␈α␈des:␈↓ π'␈ε)00␈↓ πj␈ε#Imm␈α␈edia␈α␈te
␈βεA␈↓ π'␈ε)10␈↓ πj␈ε#S␈α␈imple␈α(on␈α␈e␈αmin␈α␈u␈α␈te)
␈βεh␈↓ π'␈ε)20␈↓ πj␈ε#M␈α␈ediu␈α␈m␈α(qu␈α␈arter␈αhou␈α␈r)
␈βπ∞␈↓ ↓|␈ε↓x
␈βπ⊂␈↓ αZ␈ε#Reco␈α␈mmen␈α␈de␈α␈d␈↓ π'␈ε)30␈↓ πj␈ε#M␈α␈od␈α␈erately␈αh␈α␈ard
␈βπ7␈↓ ↓|␈ε)M␈↓ αZ␈ε#Ma␈α␈them␈α␈atically␈αorien␈α}ted␈↓ π'␈ε)40␈↓ πj␈ε#T␈α⎇erm␈αp␈α␈rojec␈α␈t
␈βπ←␈↓ ↓|␈ε)HM␈↓ αZ␈ε#Requ␈α␈iring␈α\␈α␈high␈α␈er␈αmat␈α␈h"␈↓ π'␈ε)50␈↓ πj␈ε#Re␈α␈search␈α
pro␈α␈blem
␈βλ"␈↓ ↓H␈∧λ"↓Hα	e
␈β	β␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β	R␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	T␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)00␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Wha␈α␈t␈αdo␈α␈es␈αthe␈αra␈α␈ting␈α\␈ε)␈α␈M20␈↓ ¬y␈ε#"␈αme␈α␈an␈α␈?
␈β
π␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)10␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Of␈αwh␈α␈at␈αv␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αcan␈α
the␈αe␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
a␈αtex␈α␈tbook␈αb␈α␈e␈αto␈αth␈α␈e␈αrea␈α␈der?
␈β
3␈↓ 	.␈ε,n␈↓ 
β␈ε,n␈↓ 
↑␈ε,n
␈β
9␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M5␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αwhe␈α␈n␈ε)␈αn␈ε#␈α
is␈αan␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r,␈ε)␈α
n␈ε#␈α>␈α2,␈αthe␈αeq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ 	≠␈ε)x␈↓ 	H␈ε#+␈↓ 	q␈ε)y␈↓ 
 ␈ε#=␈↓ 
M␈ε)z␈↓ 
|␈ε#ha␈α␈s
␈β
a␈↓ ↓H␈ε#no␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αin␈α
positiv␈α␈e␈αin␈α}tegers␈ε)␈αx␈ε#␈α␈,␈↓ ¬2␈ε)y␈↓ ¬D␈ε#,␈↓ ¬R␈ε)z␈↓ ¬d␈ε#.
␈β⊂=␈↓ ε!␈ε Exercise␈αis␈αthe␈αbeste␈αintrument␈αin␈αlearnyng.
␈β⊂z␈↓ ∧[␈ε?←ROBERT␈↓ ε_␈ε?RECORDE␈α(␈ε The␈αWhetstone␈αof␈αWitte␈ε?,␈α1557)
␈β∪(

␈β↓j␈↓ ↓H␈∧↓j↓H↓(␈↓ ¬␈∧↓j¬↓(
␈β↓k␈↓ ↓H␈∧↓k↓H(↓␈↓ ,␈∧↓k,(↓
␈ββ9␈↓ λ ␈ε<CONTEN␈α␈TS
␈β∧m␈↓ ↓H␈ε=Chapter␈α∞3←␈α␈Random␈α
Nu␈α↓mbers␈↓ ¬a␈ε=.␈↓ ε∀␈ε=.␈↓ εG␈ε=.␈↓ εz␈ε=.␈↓ π-␈ε=.␈↓ πa␈ε=.␈↓ λ∀␈ε=.␈↓ λG␈ε=.␈↓ λz␈ε=.␈↓ 	.␈ε=.␈↓ 	a␈ε=.␈↓ 
∀␈ε=.␈↓ 
G␈ε=.␈↓ →␈ε=1
␈β¬!␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈↓ α∂␈ε#In␈α␈trod␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ βa␈ε#.␈↓ ∧∃␈ε#.␈↓ ∧H␈ε#.␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ≤␈ε#1
␈β¬I␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Gene␈α␈rating␈α
Uniform␈αRa␈α␈nd␈α␈om␈αNu␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ≤␈ε#9
␈β¬p␈↓ α∂␈ε#3.2.1.␈↓ αv␈ε#Th␈α␈e␈αLi␈α↓n␈α␈ear␈αCo␈α␈ngr␈α␈uen␈α}ti␈α↓a␈α␈l␈αM␈α␈ethod␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ≤␈ε#9
␈βε_␈↓ αv␈ε#3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.1.␈↓ β{␈ε#Choice␈αof␈αm␈α↓o␈α␈du␈α␈lus␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#11
␈βε@␈↓ αv␈ε#3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.2.␈↓ β{␈ε#Choice␈αof␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓e␈α␈r␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#15
␈βεg␈↓ αv␈ε#3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.3.␈↓ β{␈ε#Poten␈α␈cy␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#22
␈βπ∂␈↓ α∂␈ε#3.2.2.␈↓ αv␈ε#Oth␈α␈er␈αMe␈α␈th␈α↓o␈α␈ds␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#25
␈βπ6␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Sta␈α␈ti␈α↓stica␈α␈l␈αT␈α⎇ests␈↓ ∧∃␈ε#.␈↓ ∧H␈ε#.␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#38
␈βπ↑␈↓ α∂␈ε#3.3.1.␈↓ αv␈ε#Ge␈α␈nera␈α␈l␈αT␈α⎇est␈αProc␈α␈edu␈α␈res␈αfor␈αS␈α␈tud␈α␈ying␈α
Ran␈α␈dom␈α
Data␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#38
␈βλε␈↓ α∂␈ε#3.3.2.␈↓ αv␈ε#Emp␈α␈iri␈α↓c␈α␈al␈αT␈α}es␈α␈ts␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#59
␈βλ-␈↓ ↓␈␈ε#*␈↓ α∂␈ε#3.3.3.␈↓ αv␈ε#Th␈α␈eoret␈α␈i␈α↓ca␈α␈l␈αT␈α⎇est␈α␈s␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#75
␈βλU␈↓ α∂␈ε#3.3.4.␈↓ αv␈ε#Th␈α␈e␈αSp␈α␈ectra␈α␈l␈αT␈α⎇est␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ ␈ε#89
␈βλ|␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈α↓4␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Othe␈α␈r␈αT␈α␈y␈α␈pes␈αo␈α␈f␈αRan␈α␈dom␈α
Quan␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#114
␈β	$␈↓ α∂␈ε#3.4.1.␈↓ αv␈ε#Nu␈α␈merica␈α␈l␈αDistribu␈α␈tion␈α␈s␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#114
␈β	L␈↓ α∂␈ε#3.4.2.␈↓ αv␈ε#Ra␈α␈nd␈α␈om␈αS␈α␈amp␈α␈li␈α↓n␈α␈g␈αan␈α␈d␈αS␈α␈h␈α␈u␈α␈␈␈ing␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#136
␈β	s␈↓ ↓7␈ε#*␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈↓ α∂␈ε#W␈α↓h␈α␈at␈αis␈αa␈αRa␈α␈nd␈α␈om␈αS␈α␈equ␈α␈enc␈α␈e?␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#142
␈β
≠␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Su␈α␈mma␈α␈ry␈↓ βa␈ε#.␈↓ ∧∃␈ε#.␈↓ ∧H␈ε#.␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#170
␈β∀␈↓ ↓H␈ε=Chapter␈α∞4←␈α␈Ar␈α↓ithm␈α↓e␈α␈t␈α↓ic␈↓ ∧z␈ε=.␈↓ ¬-␈ε=.␈↓ ¬a␈ε=.␈↓ ε∀␈ε=.␈↓ εG␈ε=.␈↓ εz␈ε=.␈↓ π-␈ε=.␈↓ πa␈ε=.␈↓ λ∀␈ε=.␈↓ λG␈ε=.␈↓ λz␈ε=.␈↓ 	.␈ε=.␈↓ 	a␈ε=.␈↓ 
∀␈ε=.␈↓ 
G␈ε=.␈↓ 
q␈ε=178
␈βH␈↓ ↓H␈ε#4␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈↓ α∂␈ε#P␈α↓o␈α␈siti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αNu␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αSy␈α␈stems␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#179
␈βp␈↓ ↓H␈ε#4␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈↓ α∂␈ε#F␈α↓lo␈α␈ating␈α␈-␈α↓Po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αAri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#198
␈β
↔␈↓ α∂␈ε#4.2.1.␈↓ αv␈ε#S␈α␈i␈α↓n␈α␈gle-Precision␈α
Calcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#198
␈β
?␈↓ α∂␈ε#4.2.2.␈↓ αv␈ε#Acc␈α␈urac␈α␈y␈αof␈αFloatin␈α␈g-Poin␈α␈t␈αArith␈α␈metic␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#213
␈β
f␈↓ ↓␈␈ε#*␈↓ α∂␈ε#4.2.3.␈↓ αv␈ε#Do␈α␈ub␈α␈l␈α↓e-Prec␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈αCalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tions␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#230
␈β∞∞␈↓ α∂␈ε#4.2.4.␈↓ αv␈ε#Distribu␈α␈tion␈αo␈α␈f␈αF␈α↓loa␈α␈ting-Poin␈α}t␈αNum␈α␈b␈α␈ers␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#238
␈β∞6␈↓ ↓H␈ε#4␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Mu␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈-␈α↓Pre␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αArithm␈α␈etic␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#250
␈β∞]␈↓ α∂␈ε#4.3.1.␈↓ αv␈ε#Th␈α␈e␈αCl␈α↓a␈α␈ssical␈αAlgorith␈α␈ms␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#250
␈β∂¬␈↓ ↓␈␈ε#*␈↓ α∂␈ε#4.3.2.␈↓ αv␈ε#M␈α␈odu␈α␈lar␈αArithm␈α␈etic␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#268
␈β∂,␈↓ ↓␈␈ε#*␈↓ α∂␈ε#4.3.3.␈↓ αv␈ε#Ho␈α␈w␈αF␈α⎇ast␈αCa␈α␈n␈αW␈α}e␈α
Multiply␈α␈?␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#278
␈β∂T␈↓ ↓H␈ε#4␈α␈.␈α↓4␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Rad␈α␈i␈α↓x␈α
Con␈α␈v␈α}ersion␈↓ ∧H␈ε#.␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#300
␈β∂|␈↓ ↓H␈ε#4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Ration␈α␈al␈αArithme␈α␈ti␈α↓c␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#313
␈β⊂#␈↓ α∂␈ε#4.5.1.␈↓ αv␈ε#F␈α⎇ractio␈α␈ns␈↓ ∧∃␈ε#.␈↓ ∧H␈ε#.␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#313
␈β⊂K␈↓ α∂␈ε#4.5.2.␈↓ αv␈ε#Th␈α␈e␈αGreat␈α␈est␈αCommon␈αDiviso␈α␈r␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#316
␈β⊂r␈↓ ↓␈␈ε#*␈↓ α∂␈ε#4.5.3.␈↓ αv␈ε#An␈α␈alysis␈αof␈αEuc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αAlgo␈α␈rithm␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#339
␈β⊃~␈↓ α∂␈ε#4.5.4.␈↓ αv␈ε#F␈α⎇acto␈α␈ring␈αin␈α␈t␈α␈o␈αPri␈α↓m␈α␈es␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#364
␈β⊃H␈↓ ε)␈ε$xii
␈β∪(

␈β↓U␈↓ 
z␈ε"xiii
␈β↓\␈↓ 	π␈ε∞CONTE␈α↓N␈α␈T␈α↓S
␈β∧q␈↓ ↓H␈ε#4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈↓ α∂␈ε#P␈α↓o␈α␈lynomial␈αArithme␈α␈ti␈α↓c␈↓ ∧{␈ε#.␈↓ ¬.␈ε#.␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#399
␈β¬→␈↓ α∂␈ε#4.6.1.␈↓ αv␈ε#Division␈α
of␈αPolynomials␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#401
␈β¬@␈↓ ↓␈␈ε#*␈↓ α∂␈ε#4.6.2.␈↓ αv␈ε#F␈α⎇acto␈α␈rization␈α
of␈αPolynomials␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#420
␈β¬h␈↓ α∂␈ε#4.6.3.␈↓ αv␈ε#Ev␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈ation␈α
of␈αPo␈α␈w␈α␈ers␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#441
␈βε⊂␈↓ α∂␈ε#4.6.4.␈↓ αv␈ε#Ev␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈ation␈α
of␈αPolynomia␈α␈l␈α↓s␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#466
␈βε7␈↓ ↓7␈ε#*␈↓ ↓H␈ε#4␈α␈.␈α↓7␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Man␈α␈ipu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈αo␈α␈f␈αPo␈α}we␈α␈r␈αSeries␈↓ ¬a␈ε#.␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#506
␈βπλ␈↓ ↓H␈ε=Answ␈α␈ers␈α∞to␈α
Exercises␈↓ ∧G␈ε=.␈↓ ∧z␈ε=.␈↓ ¬-␈ε=.␈↓ ¬a␈ε=.␈↓ ε∀␈ε=.␈↓ εG␈ε=.␈↓ εz␈ε=.␈↓ π-␈ε=.␈↓ πa␈ε=.␈↓ λ∀␈ε=.␈↓ λG␈ε=.␈↓ λz␈ε=.␈↓ 	.␈ε=.␈↓ 	a␈ε=.␈↓ 
∀␈ε=.␈↓ 
G␈ε=.␈↓ 
q␈ε=516
␈βπ[␈↓ ↓H␈ε=Appe␈α␈n␈α↓dix␈α
A←T␈α|abl␈α↓e␈α␈s␈α∞of␈α
Num␈α↓e␈α␈r␈α↓ica␈α␈l␈α∞Quanti␈α↓ties␈↓ πa␈ε=.␈↓ λ∀␈ε=.␈↓ λG␈ε=.␈↓ λz␈ε=.␈↓ 	.␈ε=.␈↓ 	a␈ε=.␈↓ 
∀␈ε=.␈↓ 
G␈ε=.␈↓ 
q␈ε=659
␈βλ∂␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈.␈↓ α∂␈ε#F␈α}u␈α␈nd␈α␈ame␈α␈n␈α␈tal␈αCon␈α␈stan␈α}ts␈α(decima␈α␈l)␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#659
␈βλ7␈↓ ↓H␈ε#2␈α␈.␈↓ α∂␈ε#F␈α}u␈α␈nd␈α␈ame␈α␈n␈α␈tal␈αCon␈α␈stan␈α}ts␈α(octa␈α␈l␈α↓)␈↓ ε∃␈ε#.␈↓ εH␈ε#.␈↓ ε{␈ε#.␈↓ π.␈ε#.␈↓ πb␈ε#.␈↓ λ∃␈ε#.␈↓ λH␈ε#.␈↓ λ{␈ε#.␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#660
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈↓ α∂␈ε#Harm␈α↓o␈α␈nic␈αNu␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈αBernou␈α␈l␈α↓li␈αNum␈α}bers,␈αFibo␈α␈nac␈α␈ci␈αN␈α␈um␈α␈b␈α␈ers␈↓ 	.␈ε#.␈↓ 	b␈ε#.␈↓ 
∃␈ε#.␈↓ 
H␈ε#.␈↓ 
z␈ε#661
␈β	/␈↓ ↓H␈ε=Appe␈α␈n␈α↓dix␈α
B←Index␈α
to␈α
N␈α↓o␈α␈t␈α↓ations␈↓ ε∀␈ε=.␈↓ εG␈ε=.␈↓ εz␈ε=.␈↓ π-␈ε=.␈↓ πa␈ε=.␈↓ λ∀␈ε=.␈↓ λG␈ε=.␈↓ λz␈ε=.␈↓ 	.␈ε=.␈↓ 	a␈ε=.␈↓ 
∀␈ε=.␈↓ 
G␈ε=.␈↓ 
q␈ε=663
␈β
α␈↓ ↓H␈ε=Index␈α
and␈α∞G␈α␈los␈α↓sary␈↓ ∧G␈ε=.␈↓ ∧z␈ε=.␈↓ ¬-␈ε=.␈↓ ¬a␈ε=.␈↓ ε∀␈ε=.␈↓ εG␈ε=.␈↓ εz␈ε=.␈↓ π-␈ε=.␈↓ πa␈ε=.␈↓ λ∀␈ε=.␈↓ λG␈ε=.␈↓ λz␈ε=.␈↓ 	.␈ε=.␈↓ 	a␈ε=.␈↓ 
∀␈ε=.␈↓ 
G␈ε=.␈↓ 
q␈ε=668
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=xx/FONT#2=cmss14[XGP,SYS]=/2Velmouu/FONT#3=cmbig[XGP,SYS]=ACEFGHIMNOPRTUU/FONT#4=cmss9b[XGP,SYS]=-ABCDEGHILMNOPSUWYY/FONT#13=logos[XGP,SYS]=WW/FONT#14=cmsc9[XGP,SYS]=,-.ABCDEFGHILMNOPRSTUVWXY↑↑/FONT#32=cmsss8[XGP,SYS]=!',.:;DEIOTW`abcdefghiklmnoprstuvwxyy/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=!"$'()+,-./0123456789:;ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWZ\↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]="$'()*+,-./0123456789:;=>?ABCDEFGHILMNOPQRSTUW[\]abcdefghijklmnopqrstuvwxyz|}␈␈/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]=,.06GIPTabcdefghimnopqrstuvxyy/FONT#40=cmi10[XGP,SYS]=01457HMnn/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]=012345HMnxyzz/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=nn/FONT#46=cmsc10[XGP,SYS]=.ACEGHILMNORSTXX/FONT#47=cms10[XGP,SYS]=$,01689ACDJNOPSUabcdefgilmnorstuvwyy/FONT#48=cms9[XGP,SYS]=IRaeginoprtt/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=.1233/FONT#53=cmtt[XGP,SYS]=IMXX/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=↓␈␈/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=⎇⎇/FONT#60=cmtitl[XGP,SYS]=ACEFHINOPRSTXaceghilmnorstuu/FONT#61=cmssb[XGP,SYS]=.13456789ABCDEFGHIKLMNOPQRSTUWXY↑←abcdefhilmnoprstuwxyy/FONT#63=cmss8[XGP,SYS]=(),.012578ABCDEHILNORST[]←abcefhilmnrstuyy